Aturan Semantik Proposisional

01 · Aturan Semantik

Tujuh Aturan Semantik

Aturan semantik menentukan nilai kebenaran suatu kalimat di bawah interpretasi I. Nilai kebenaran kalimat yang kompleks diperoleh dengan menerapkan aturan ini berulang-ulang pada kalimat bagiannya.

Aturan Semantik Proposisi

Simbol kebenaran (true/false) selalu bernilai sesuai dirinya sendiri. Simbol proposisional bernilai sesuai interpretasi I yang diberikan.

02 · Penentuan Nilai Kalimat

Menentukan Nilai Kebenaran Kalimat

Nilai kebenaran sebuah kalimat dihitung maju: dari simbol proposisional menuju kalimat secara utuh, dengan menerapkan aturan semantik pada tiap kalimat bagian.

Langkah Penentuan Nilai Kalimat

Perhatikan interpretasi yang diberikan.
Terapkan aturan semantik pada masing-masing kalimat bagian, dari simbol proposisional hingga kalimat secara utuh.

Contoh 2.1 — Nilai kebenaran E: if P then not R dengan K: {P←true, R←false} +

Dengan Aturan Proposisi, P bernilai true dan R bernilai false. Dengan Aturan Negasi, not R bernilai true (karena R false). Dengan Aturan Implikasi, if P then not R bernilai true, karena klausa if (P) true dan klausa then (not R) juga true.

03 · Penentuan Interpretasi dari Kalimat

Mencari Interpretasi dari Nilai Kalimat

Proses ini bekerja mundur: dari nilai kebenaran kalimat secara utuh, aturan semantik dilacak balik hingga ditemukan nilai kebenaran tiap simbol proposisional yang menyebabkannya.

Langkah Penentuan Interpretasi

Perhatikan nilai kebenaran kalimat.
Tentukan nilai kebenaran kalimat bagian berdasarkan aturan semantik, dari kalimat secara utuh mundur menuju simbol proposisional.
Tuliskan semua nilai kebenaran simbol proposisional itu dalam suatu interpretasi.

Contoh 3.1 — E: if (Q and R) then S bernilai false. Semua interpretasi yang mungkin? +

Menurut Aturan Implikasi, implikasi bernilai false hanya jika klausa if true dan klausa then false. Jadi Q and R bernilai true dan S bernilai false. Menurut Aturan Konjungsi, Q and R bernilai true hanya jika Q dan R keduanya true. Jadi interpretasinya adalah I: {Q←true, R←true, S←false}.

04 · Interpretasi yang Diperluas

Interpretasi yang Diperluas

Interpretasi yang sudah ada bisa diperluas — memberi nilai pada simbol baru, atau menimpa nilai simbol yang sudah ada — tanpa menuliskan interpretasi dari awal.

Notasi umum: perluasan interpretasi I dengan simbol ρ₁ bernilai τ₁ ditulis <ρ₁←τ₁>•I, dan hasilnya boleh dipermisalkan sebagai interpretasi baru J.

Dua tujuan perluasan

Memberi nilai simbol baru

Perluasan I: {P←true} dengan <S←true>•I memberi nilai true pada simbol S yang belum pernah dinilai, menjadi J: {P←true, S←true}.

Perluasan multi menerapkan beberapa perluasan berurutan: <ρ_n←τ_n>•…•<ρ₁←τ₁>•I berarti I diperluas dulu dengan ρ₁, hasilnya diperluas dengan ρ₂, dan seterusnya hingga ρ_n paling akhir.

Contoh 4.2 — Perluasan berulang dari I: {P←true, P1←true} +

Perluasan <P2←true>•<P1←false>•<P←false>•I diterapkan bertahap:
1. <P←false>•I menimpa P → {P←false, P1←true}
2. <P1←false>•(…) menimpa P1 → {P←false, P1←false}
3. <P2←true>•(…) menambah simbol baru P2 → J: {P←false, P1←false, P2←true}

05 · Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran memuat semua kemungkinan interpretasi sebuah kalimat sebagai baris-barisnya, sehingga nilai kebenaran kalimat itu terlihat lengkap untuk setiap kemungkinan.

Setiap interpretasi untuk suatu kalimat logika proposisional bersesuaian dengan tepat satu baris dalam tabel kebenarannya.

Langkah Membuat Tabel Kebenaran

Tentukan banyak simbol proposisional dalam kalimat.
Tentukan banyak kemungkinan interpretasi, dihitung dengan 2^x (x = banyak simbol proposisional).
Tuliskan semua kemungkinan interpretasi dari masing-masing simbol proposisional.
Tentukan nilai kebenaran kalimat — dan kalimat bagiannya — untuk setiap interpretasi tersebut.

Contoh 5.1 — Tabel kebenaran untuk F: not P +

F hanya memiliki satu simbol proposisional (P), sehingga ada 2¹ = 2 kemungkinan interpretasi.

Interpretasi	P	not P
I₁	True	False
I₂	False	True

Contoh 5.2 — Tabel kebenaran untuk F: if (not P and Q) then P else R +

F memiliki tiga simbol proposisional (P, Q, R), sehingga ada 2³ = 8 kemungkinan interpretasi. Karena F berbentuk kondisional, nilainya sama dengan klausa then (P) jika klausa if (not P and Q) true, dan sama dengan klausa else (R) jika klausa if false.

P	not P	Q	R	not P and Q	F
True	False	True	True	False	True
True	False	True	False	False	False
True	False	False	True	False	True
True	False	False	False	False	False
False	True	True	True	True	False
False	True	True	False	True	False
False	True	False	True	False	True
False	True	False	False	False	False

Bacaan Lanjutan

Referensi Rekomendasi

Modul resmi mata kuliah dan dua rujukan pelengkap untuk memperdalam aturan semantik, interpretasi, dan tabel kebenaran.

Suprapto. (2020). Logika Informatika (Buku Materi Pokok). Tangerang Selatan: Universitas Terbuka.

Modul resmi mata kuliah STSI4106 — sumber utama seluruh materi Sesi 2 ini.

Bergmann, M., Moor, J., & Nelson, J. (2014). The Logic Book (6th ed.). New York: McGraw-Hill.

Rujukan standar untuk semantika formal logika proposisional: aturan penilaian kebenaran dan tabel kebenaran.

mheducation.com/highered/product/logic-book-bergmann-moor

Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. New York: McGraw-Hill.

Referensi pelengkap untuk tabel kebenaran dan penerapan aturan semantik pada konektif logika.

mheducation.com/highered/product/discrete-mathematics-and-its-applications-rosen